به گزارش خبرآنلاین و با استناد به دیجیاتو، مسالهی اختراع یا کشف ریاضیات در حقیقت به چگونگی شکلگیری نمادها و قراردادهای ریاضی برمیگردد. به عبارتی دیگر، چه کسی نماد “+” را ایجاد کرده یا نخستین بار از صفر استفاده کرده است، موضوع اصلی نیست. بیشتر نمادها و الگوهای ریاضی حاصل ذهن بشری هستند و احتمالاً ما قادر بودیم عدد سه را با نشانهای متفاوت نشان دهیم. از سوی دیگر، دستگاه عددنویسی دهدهی نیز به تعداد انگشتان انسان مرتبط است. سوال اصلی این است که آیا مفاهیمی که این نمادها به آنها اشاره میکنند نیز برساخته ما هستند یا خیر.
بهعنوان مثال، برای نماد “π” وضعیتی متفاوت وجود دارد. این نماد به نسبتی اشاره دارد که با تقسیم محیط هر دایره بر قطر آن به دست میآید و این نسبت ثابت است و به اندازه دایره وابسته نیست. بشر، قرنها پیش از رایج شدن نماد “π”، به این نسبت آگاه بود و در تلاش برای محاسبه دقیقتر آن بود. امروز میدانیم که این عدد یک عدد گنگ است که اعشارش به صورت نامنظم ادامه دارد.
میتوان نام یا نماد “π” را تغییر داد، اما آیا میتوان نسبت محیط به قطر دایره را عوض کرد؟ اینجاست که پل ارتباطی میان اختراع و کشف ریاضیات شکل میگیرد. پاسخهای اولیه به این سوال این بوده که ریاضیات چیزی نیست که ما بسازیم، بلکه آن را کشف میکنیم. این نگرش تحت عنوان واقعگرایی ریاضی شناخته میشود و یکی از مشهورترین گرایشهای آن، افلاطونگرایی میباشد.
در این دیدگاه، اعداد و اشکال ریاضی به عنوان موجودات مستقل از ذهن انسان در نظر گرفته میشوند، هرچند به همان شکل که یک میز یا یک درخت وجود ندارند. به عنوان مثال، عدد هفت وجود دارد، اما نمیتوان آن را به صورت فیزیکی نشان داد. گزاره «۷ میان ۶ و ۸ قرار دارد» به سادگی نمیتواند یک توافق انسانی باشد و ما نمیتوانیم از آن صرفنظر کنیم.
از نظر افلاطونگرایی، اشیای ریاضی واقعی هستند و مستقل از ما وجود دارند، در حالی که فیلسوفان دیگر، نظیر نامگرایان و داستاننگران، برای توضیح ریاضیات به ساختارهای واقعی و روابط میان آنها رجوع میکنند. داستاننگاری نیز تصور میکند ریاضیات یک زبان منسجم و مفید برای توصیف جهان است که نیاز به وجود اعداد ندارد.
توجه به این نکته نیز حائز اهمیت است که افلاطونگرایی به یک چالش جدی نیز برخورد کرده است. اگر اعداد در خارج از جهان مادی وجود دارند، چگونه ما به آنها دسترسی پیدا میکنیم؟ در حالی که هیچ پاسخ قطعی به این سوال وجود ندارد، یکی از نکات جالب این است که جهان فیزیکی به طور مکرر نشان داده است که به ساختارهای ریاضی وابسته است.
در دهه ۱۹۶۰، یوجین ویگنر، فیزیکدان آمریکایی، مقالهای نوشت که به پرسش درباره اثرگذاری غیرعادی ریاضیات در علوم طبیعی اهمیت میدهد. او شگفتزده بود که چرا ریاضیات به خوبی با جهان طبیعی سازگاری دارد.
ادوارد ویتن، فیزیکدان نظری، این تطابق را عجیب میداند و به وقوع ساختارهای ریاضی اشاره میکند که سالها قبل از کاربرد آنها در فیزیک، تنها به دلیل کنجکاوی مورد بررسی قرار گرفته بودند. بعدها معلوم میشود که همان ساختارها برای توصیف طبیعت مورد نیاز هستند و نمونههایی از این حقایق در تاریخ علم مشاهده میشود.### ریاضی: کشف یا اختراع؟
تحقیقات جدید نشان میدهد که مسئله کشف یا اختراع ریاضیات همچنان موضوع بحثهای جدی است. «راجر پنروز» یکی از پژوهشگران برجسته در این حوزه به این نکته اشاره میکند که موفقیت ریاضیات در توضیح طبیعیات ممکن است نشاندهنده این باشد که قوانین ریاضی فراتر از ساختههای ذهنی بشر هستند. او تاکید میکند که بعضی نظریههای فیزیکی میتوانند پیشبینیهایی ارائه دهند که سالها بعد به واقعیت تبدیل میشوند.
از این منظر، ریاضیات نه بهعنوان یک ساختار تحمیلی بلکه بهعنوان یک نظم ذاتی در جهان قابل شناسایی است. این موضوع مجدداً سؤال مهمی را مطرح میکند: اگر ریاضیات صرفاً ایجاد ذهن بشر است، چرا اینقدر با واقعیتهای جهان هماهنگ است؟
### اعداد موهومی: پدیدهای بیمعنا؟
یکی از جالبترین مثالها در این زمینه مربوط به اعداد موهومی است. در قرنها پیش، ریاضیدانان برای حل معادلات درجهسوم با معضل جذر اعداد منفی مواجه شدند. از آنجا که هیچ عدد حقیقی نمیتواند مربعش منفی باشد، اعداد منفی بهطور موقت بیمعنا به نظر میرسیدند. «رنه دکارت» بعدها به آنها عنوان موهومی را داد. اما این اعداد به شکلی جدی مورد توجه قرار گرفتند و بهعنوان عدد i شناخته شدند که اکنون به بخش مهمی از ریاضیات، یعنی اعداد مختلط، تبدیل گردیده است.
این اعداد دو قرن بعد در فیزیک کوانتوم دوباره به صحنه آمدند، اما نه بهصورت ابزاری ریاضی، بلکه بهعنوان عنصری کلیدی در نظریههایی مانند معادله شرودینگر. این پرسش دوباره به ذهن میرسد که اگر اعداد موهومی را خودمان ایجاد کردهایم، چرا جهان اینقدر با آنها سازگار است؟
### هندسه، ابداعی با ابعاد جدید
مثالی دیگر در این راستا مربوط به هندسه اقلیدسی است. اقلیدس در قرن سوم پیش از میلاد اصولی را بنا نهاد و اصل پنجمش درباره خطوط موازی همواره بحثبرانگیز بود. ریاضیدانان نسلها تلاش کردند تا این اصل را به کمک اصول دیگر اثبات کنند، اما موفق نشدند. تا اینکه در قرن نوزدهم، لوباچفسکی و بویویی پیشنهاد کردند که شاید نیازی به پذیرش این اصل نباشد. این ایده موجب تولد هندسهای جدید شد.
در هندسه اقلیدسی، از یک نقطه فقط یک خط موازی میگذرد، اما هندسههای جدید میتوانند چندین خط موازی داشته باشند یا اصلاً دارای خطوط موازی نباشند. این کشف به نفع نظریه اختراع ریاضیات است و اینگونه به نظر میرسد که ریاضی میتواند بهعنوان بازیای باشد که در آن ما قواعد را انتخاب کرده و نتایج آنها را کشف میکنیم.
اما این پایان داستان نیست. «برنهارد ریمان» ایدههای جدیدی درباره هندسه فضایی ارائه داد که بهنظر میرسید کاملاً انتزاعی است. با این حال، چند دهه بعد، اینشتین نشان داد که این هندسه میتواند گرانش را توصیف کند و به ما این سؤال را دوباره میدهد: آیا این هندسه را ما اختراع کردیم یا چیزی بود که با طبیعت هماهنگ است؟
### یک جمعبندی تاملبرانگیز
با توجه به پژوهشهای انجامشده، اگرچه تا کنون به نظر میرسد که ایدهی کشف ریاضیات حاکم است، اما استدلالهای قوی نیز برای دیدگاه اختراع ریاضیات وجود دارد. بخش عمدهای از ریاضیات با انتخاب تعاریف و اصول اولیه شروع میشود و این بدان معناست که تغییر این اصول میتواند به کشف دنیایی کاملاً متفاوت منجر شود.### آیا ریاضیات کشف شده یا اختراع؟
بسیاری از کارشناسان بر این باورند که ریاضیات شباهتی به شطرنج دارد. قوانین این بازی توسط ما ساخته شدهاند، اما پس از تعیین آن قواعد، نتایج بهدست آمده تحت تأثیر نظرات ما نیستند. برای مثال، در یک موقعیت خاص، آیا سفید میتواند حریف را در سه حرکت مات کند؟ پاسخ این سوال به قواعد بازی وابسته است و نه به نظر ما. این دیدگاه بهنوعی با مفهوم صورتگرایی مرتبط است؛ بدین معنا که اگرچه چارچوبهای ریاضی را خودمان ایجاد میکنیم، ولی یافتههای آنها را کشف میکنیم.
### طبیعت ریاضی دارد یا ما طبیعت را ریاضی میبینیم؟
از دیگر دلایل احتیاط در این زمینه میتوان به تمایل طبیعی مغز انسان برای یافتن الگوها اشاره کرد. مشاهده مارپیچ صدفها، ترتیب دانههای آفتابگردان و شکلگیری شاخههای گیاهان به سادگی ما را به فکر میاندازد که آیا طبیعت بر اساس فرمولی ریاضی بنا شده است یا خیر.
بهعنوان مثال، دنباله فیبوناچی (۱، ۱، ۲، ۳، ۵ و …) وجود دارد که در آن هر عدد حاصل جمع دو عدد قبلی است. الگوهای مرتبط با فیبوناچی و نسبت طلایی در برخی از روندهای رشد گیاهان مشاهده میشود. اما باید احتیاط کرد؛ بسیاری از ارتباطها با فیبوناچی ممکن است اغراقآمیز باشند. نکته مهمتر این است که برخی الگوهای ریاضی به دلیل محدودیتهای رشد، فضا و بهینهسازی، بهطور مکرر در طبیعت تکرار میشوند. سؤالی که در اینجا مطرح میشود این است که آیا طبیعت واقعاً ساختاری ریاضی دارد یا ما ریاضیات را برای توصیف این الگوها ایجاد کردهایم؟ در صورتی که چنین باشد، چرا این “عینک” تا این حد کارآمد است؟
به عنوان یک آزمایش ذهنی، تصور کنید که امروز مفهوم عدد اول را تعریف کردیم؛ عددی طبیعی بزرگتر از یک که فقط بر یک و خودش بخشپذیر است. بهنظر میرسد که این تعریف کاملاً بشری است، اما سوال این است که آیا تعداد اعداد اول محدود است یا بینهایت؟ اینجا پاسخ از دست ما خارج است. اقلیدس ثابت کرده که تعداد اعداد اول بینهایت است که نشان میدهد برخی نتایج به انتخاب ما وابسته نیستند و از دل تعریفها برمیآیند.
این موضوع احتمالاً دلیل آن است که ریاضیدانان به کار خود با زبانی از کشف اشاره میکنند. آنها ممکن است سالها برای حل یک مسئله تلاش کنند و به نتایجی برسند که اصلاً انتظارشان را نداشتهاند.
### گودل و پیچیدگیهای جدید
در اوایل قرن بیستم، گروهی از ریاضیدانان تلاش داشتند تا پایهای استوار برای ریاضیات بنا کنند که از طریق اصول دقیق، هر گزارهای را اثبات یا رد کنند. «دیوید هیلبرت» یکی از چهرههای کلیدی این تلاش بود. اما در سال ۱۹۳۱، «کورت گودل» نشان داد که این رویا با محدودیتهایی روبهروست؛ او ثابت کرد که در برخی از نظامهای ریاضی، حقایقی وجود دارند که با قواعد همان نظام نمیتوان آنها را اثبات کرد.
این قضیه بههیچوجه اثبات نمیکند که ریاضیات صرفاً کشف میشود، اما نشاندهنده سادگی بیشازحد در ادراک ریاضیات بهعنوان سیستمی که تنها بر اساس قوانین نمادها عمل میکند، است.
جالب توجه است که این پرسشهای انتزاعی در نهایت به نظریه محاسبه رسیدند. «آلن تورینگ» با بررسی موضوع تصمیمپذیری، مفهوم ماشین تورینگ را مطرح کرد که بعدها به یکی از بنیادیترین نظریههای علوم کامپیوتر تبدیل شد.
### ارتباط ریاضیات با واقعیت
هندسه نااقلیدسی و اعداد مختلط میتوانستند صرفاً موضوعاتی انتزاعی باقی بمانند، اما در عمل، این ایدهها به فیزیک، مهندسی و سایر علوم راه یافتند. این همان معمایی است که ویگنر به آن اشاره کرد: چرا ریاضیات در توصیف طبیعت چنین موفق عمل میکند؟ شاید به این دلیل که جهان از ساختاری ریاضی برخوردار است، یا ممکن است هر جهانی که در آن الگو، کمیت و رابطه وجود داشته باشد، به تصورات ریاضی ما بستگی داشته باشد.### ریاضیات: کشف یا اختراع؟
تحقیقات نشان میدهد که ریاضیات ممکن است به نحوی جهتگیری منطقی به واقعیت داشته باشد. هرچند ممکن است ما بیشتر به بخشهای عملی آن توجه کنیم و از شاخههای بیفایده غافل شویم، شگفتیهای نظریههای ریاضی در توضیح دنیای اطراف همچنان وجود دارد.
#### آزمایش فرضی: چه اگر پیامهایی از موجودات فضایی دریافت کنیم؟
به بررسی نظری دیگر در مورد اعداد اول میپردازیم. فرض کنید رادیوتلسکوپها موفق به دریافت پیامی از یک تمدن فرازمینی شوند. این موجودات ممکن است هیچ یک از زبانهای شناخته شده ما را متوجه نشوند و حتی روشهای ارتباطی آنها کاملاً متفاوت باشد. در چنین شرایطی چگونه میتوانیم ثابت کنیم که پیام ارسال شده از یک تمدن هوشمند است؟
یکی از گزینهها استفاده از الگوهای ریاضی است، مثل دنباله اعداد اول: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱ و غیره. دلیل این انتخاب آن است که این الگو به هیچ ملیت یا فرهنگی تعلق ندارد. اگر یک تمدن دیگر هم به مفهوم شمارش رسیده باشد، احتمالاً به ویژگیهای همین اعداد پی خواهد برد.
با این حال، هیچ تضمینی وجود ندارد که شیوههای نمایش اعداد و الگوهای ریاضی در تمدنهای فرازمینی مشابه ما باشد. بنابراین، صحبت درباره ریاضیات در این زمینه بیشتر به یک تمرین ذهنی شبیه است تا یک تحقیق علمی.
اما این آزمایش پرسش اصلی را بیشتر روشن میکند: اگر دو تمدن مستقل به یک حقیقت مشترک درباره اعداد اول برسند، آیا میتوان گفت آن حقیقت را کشف کردهاند؟ شاید تنها به این دلیل به ریاضیات مشابهی رسیدهاند که با مشکلات مشابه ای در جهان مواجه بودهاند و ابزارهایی مشابه برای حل آنها ایجاد کردهاند.
#### آیا ریاضیات اختراع است یا کشف؟
این سوال میتواند دقیقاً به دلیل ماهیت خود دشوار باشد، زیرا ریاضیات به نوعی از هر دو جنبه برخوردار است. ما نمادها و اصول را خلق میکنیم، ولی پس از آن حس میشود که برخی از جنبهها خارج از کنترل ما قرار دارند. به عنوان مثال، میتوانیم مفهوم عدد اول را ایجاد کنیم، اما نمیتوانیم محدودیت تعداد اعداد اول را تعیین کنیم.
این مسئله زمانی جالبتر میشود که ساختارهای انتزاعی گاهاً پس از سالها یا قرنها در طبیعت تجلی پیدا میکنند. مثلاً، اعداد مختلط به فیزیک کوانتوم راه مییابند و هندسههای خاص به توصیف گرانش میپردازند.
حالا فرض کنید جهانی وجود داشته باشد که هیچ انسانی در آن وجود ندارد؛ بدون کتاب، عدد و یا فردی که نامهایی مانند π را بداند. همچنان، سیارهها در حال چرخش و ستارهها در حال شکلگیریاند.
#### آیا در چنین جهانی، حقایق ریاضی همچنان وجود دارند؟
اگر پاسخ مثبت باشد، ممکن است ریاضیات فراتر از وجود انسانها در جهان وجود داشته باشد و ما تنها آن را کشف کردهایم. اگر پاسخ منفی باشد، توانایی انسان در ایجاد زبانی برای توصیف جهانی که قبل از خود او بوده، بسیار شگفتانگیز است.
نکتهای که در این بین باقی میماند این است: چرا جهان به زبانی پاسخ میدهد که ما آن را ریاضیات مینامیم؟
