به گزارش خبرآنلاین، یک پزشک توضیح میدهد که در بحث «کوتاهترین مسیر»، مفهوم خط مستقیم در ابتدا به نظر منطقی میآید؛ اما با کمی تفکر متوجه میشویم که این پاسخ نادرست است. جسمی که از ارتفاع میافتد، ابتدا باید سرعت بگیرد و اگر مسیرش کمی عمودی باشد، زودتر شتاب خواهد گرفت و در نهایت سریعتر به هدف میرسد. این دوگانگی میان «کوتاهترین» و «سریعترین» مسیر، بنیادیترین نکته در مسئلهای به نام «براکیستوکرون» (Brachistochrone) است که به معنای «منحنیِ کمترین زمان» است.
این پرسش ساده، در قرن هفدهم ذهن برجستهترین ریاضیدانان اروپا را مشغول کرد. از یوهان و یاکوب برنولی در سوئیس تا نیوتن در لندن و لایبنیتس در آلمان، همگی در پی کشف قانون واقعی طبیعت بودند. نتیجه این رقابت نه تنها پاسخ به یک مسئله هندسی بود، بلکه آغازگر زمینهای جدید در ریاضیات به نام «حساب تغییرات» (Calculus of Variations) شد.
### از گالیله تا برنولیها
پیش از برنولیها، گالیله در قرن هفدهم ایده مشابهی را مطرح کرده بود. او در سال 1638 در کتاب «دو علم جدید» (Two New Sciences) به مشکلات مشابهی اشاره کرده و تصور میکرد که سریعترین مسیر یک قوس دایرهای است. اگرچه او درک درستی از مساله داشت، اما ابزار ریاضی لازم برای تحلیل آن هنوز در دسترس نبود.
شش دهه پس از گالیله، خانوادهای از ریاضیدانان با نام برنولی در بازل سوئیس، این مسأله را مجدداً بررسی کردند. یوهان و یاکوب برنولی به عنوان شاگردان لایبنیتس به بررسی تأثیر مشتق و انتگرال بر قوانین طبیعی علاقهمند بودند. در سال 1696، یوهان برنولی با یک چالش عمومی، بهترین ذهنهای اروپا را به رقابت دعوت کرد.
او در ماه ژوئن 1696 مقالهای در مجله علمی Acta Eruditorum منتشر کرد و با طرح پرسشی درباره یافتن سریعترین مسیر سقوط از نقطهای به نقطه دیگر، از دیگران خواست در این زمینه پاسخ دهند و مهلت شش ماههای برای ارسال پاسخ تعیین کرد.
ماهها گذشت و هیچ پاسخی دریافت نشد. در آن زمان، روشهای حل چنین مسائلی هنوز وجود نداشت و تنها کریستین هویگنس به طور غیرمستقیم به مفهوم «کمینهسازی زمان» پرداخته بود. بهدنبال پیشنهاد لایبنیتس، مهلت پاسخ تمدید شد و این چالش به مکالمات علمی در سرتاسر اروپا رسید.
### کشف برادران برنولی
در این میان، برنولیها نیز به این رقابت پیوستند. آنها به صورت مستقل روی مسئله کار کردند و دریافتند که باید میان شتاب ناشی از گرانش و طول مسیر تعادل برقرار کنند. اگر مسیر خیلی عمودی باشد، سرعت جسم زیاد ولی مسیر طولانیتر میشود و اگر افقی باشد، مسیر کوتاهتر ولی سرعت کمتر است. بنابراین، باید شکلی پیدا میشد که این دو عامل بهینه شوند.
یوهان برنولی ابتدا فرض کرد که جواب «سیکلوئید» (Cycloid) است، اما در اثبات آن دچار اشتباه شد. یاکوب با روشی متفاوت این منحنی را به عنوان حل صحیح معرفی کرد، اما یوهان به دلیل غرور نسخه اصلاحشده برادرش را با نام خود منتشر کرد و این کار به دشمنی علمی میان آنها انجامید.
### ورود نیوتن به صحنه
در ژانویه 1697، چالش به دست آیزاک نیوتن در لندن رسید. در آن زمان، نیوتن در مقام «رئیس ضرابخانه سلطنتی» مشغول به کار بود و زمان کمی برای مسایل علمی داشت. اما او با دریافت نامه، با ترکیب اصول مکانیک و روشهای جدید حساب دیفرانسیل، به بررسی دقیق مسئله پرداخت و به نتایج پر اهمیتی رسید.منحنیای ایجاد شده است که در مقایسه با خطوط مستقیم و دایرهها، زمان را به حداقل میرساند و آن چیزی نیست جز سیکلوئید وارونه. تا ساعت چهار صبح، نیوتن پاسخ کامل خود را آماده کرده بود.
نیوتن بدون امضا، پاسخ را به انجمن سلطنتی ارسال کرد. پس از چاپ مقاله، یوهان برنولی به سرعت متوجه نویسنده اصلی آن شد و با عبارتی مشهور اظهار داشت: «من شیر را از چنگالش میشناسم.»
روش نیوتن به حدی دقیق و قاطع بود که هیچ شخص دیگری نمیتوانست به چنین دستاوردی دست یابد.
در مجموع، پنج نفر به این مسئله پاسخ دادند: نیوتن، دو برادر برنولی، لایبنیتس و گیوم دو لوپیتال، اما پاسخ نیوتن به دلیل دقت و اختصار خود از همه پیشی گرفت.
او مسئله را با زبانی نوین حل کرد که بعدها به عنوان حساب تغییرات شناخته شد. این شاخه جدید، به دنبال یافتن تابعی است که کمینه یا بیشینه یک مقدار مانند زمان یا انرژی را مشخص کند. این ریاضیات به کار برده شده در طراحی موشکها، مسیر پرتاب ماهوارهها و حتی تحلیل شکل قطرات باران به حساب میآید.
برنولیها به دنبال این مسئله، تحقیقات خود را ادامه دادند. یاکوب برنولی بعدها مسئلهای پیچیدهتر را مطرح کرد و در روند حل آن، مفاهیمی را پایهگذاری کرد که به تدریج توسط اویلر و لاگرانژ گسترش یافتند.
